题目内容

已知函数f（x）=|x-a|x+b，给出下列命题：
①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
②当x＞a时，f（x）是递增函数；
③f（x）=0至多有两个实数根；
④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为 $数学公式$ ．
其中正确的序号是________．

①②④
分析：根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象关于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单调性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．
解答：对各个选项分别加以判别：
对于①，当a=0时，f（x）=|x|x+b，可得f（-x）=-|x|x+b
∴f（x）+f（-x）=2b，可得f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
对于②，当x＞a时，f（x）=x（x-a）+b，图象的对称轴为 $\text{[math]}$ ，开口向上
因此在对称轴的右侧为增函数，所以当x＞a时，f（x）是递增函数；
对于③，可以取a=3，b=-2时，f（x）=0有三个实数根：
$\text{[math]}$ ，故③不正确；
对于④，当0≤x≤a时，f（x）=-x²+ax+b
当x= $\text{[math]}$ 时，函数的最大值为f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故答案为：①②④
点评：本题以函数的奇偶性和单调性为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题，熟练掌握函数的基本性质是解决本题的关键所在．