题目内容

如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．
（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2．
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程．
（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2-k是定值．

【答案】分析：（Ⅰ）①确定，可证AM⊥AE，即可证明直线AM与△ABE的外接圆相切；
②将A（2，2），M（4，1）代入椭圆方程，即可求得椭圆标准方程；
（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，将A（s，s），M（s+2t，t），代入椭圆方程，从而可求，再求出，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）证明：①依题意：A（2，2），M（4，1），E（0，-2）
∴，
∴
∴AM⊥AE（3分）
∵AE为Rt△ABE外接圆直径，
∴直线AM与△ABE的外接圆相切；（5分）
②解：由A（2，2），M（4，1）在椭圆上，可得，解得
∴椭圆标准方程为．（10分）
（Ⅱ）证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A（s，s），M（s+2t，t），
代入椭圆方程得，∴
∴ （14分）
∵，
∴2e2-k=2为定值． （15分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查定值的证明，解题的关键是待定系数法．
练习册系列答案
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精英家教网如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=
2
，CE=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．
8、如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB与BC成60°角；
④AB与平面BCD成45°角．
则其中正确的结论的序号为
①③④
．
如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜
2
），则MN的长的最小值为 （　　）
如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求证：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为
6
3
，试确定点M的位置．
（文）若AD=2，求四棱锥E-ABCD的体积．
（2010•温州二模）如图，正方形ABCD与正方形CDEF所成的二面角为60°，则直线EC与直线AD所成的角的余弦值为
2
4
2
4
．

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