Question

已知圆C的圆心C在y轴上，且圆C与直线y=x+1相切，点A（-1，-2）在圆内，圆半径等于2

2

（1）求圆的方程；
（2）求经过点A的最短弦所在的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意设圆的标准方程为x²+（y-b）²=8，根据圆C与直线y=x+1相切，利用点到直线的距离公式建立关于b的等式，解出b=5或-3．由点A（-1，-2）在圆内加以检验，可得b=-3，所以圆的方程是x²+（y+3）²=8；
（2）根据圆的性质，可得当经过点A的弦最短时，直线l与AC所在直线垂直，由此算出直线l的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求直线l的方程．

解答：解：（1）根据题意，圆心的坐标为C（0，b），半径r=2

2

，
设圆的标准方程为x²+（y-b）²=8，
∵圆C与直线y=x+1相切，
∴C（0，b）到直线y=x+1的距离等于半径，即

|-b+1|

2

=2

2

，解之得b=5或-3．
∵点A（-1，-2）在圆内，
∴|CA|=

(-1-0)2+(-2-b)2

＜2

2

，解之得-

7

-2＜b＜

7

-2．
因此，b=5不符合题意，可得b=-3．
∴圆的方程是x²+（y+3）²=8；
（2）当经过点A的弦最短时，其所在直线l与直线AC互相垂直，
∵AC的斜率k=

-3+2

0+1

=-1，∴直线l的斜率k'=

-1

k

=1，
可得直线l方程为y+2=x+1，即x-y-1=0．

点评：本题给出圆满足的条件，求圆的方程并求经过圆内点A截得最短弦长的直线方程．着重考查了圆的标准方程、直线的基本量与基本形式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．