Question

已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为2

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．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax-y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（-2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设⊙C的方程为（x-m）²+y²=25（m＞0），由弦长公式求出m，即得圆C的方程．
（2） 由圆心到直线的距离等于半径，求得实数a的取值范围．
（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称，则有

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

，解出实数a的值，得出结论．

解答：解：（1）设⊙C的方程为（x-m）²+y²=25（m＞0），由题意设

|m+3 2 = 25-17 m＞0

，
解得 m=1．故⊙C的方程为（x-1）²+y²=25．
（2）由题设知 

|a+5|

a2+1

＜5，故12a²-5a＞0，所以，a＜0，或a＞

5

12

．
故实数a的取值范围为(-∞，0)∪(

5

12

，+∞)．
（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称．∴PC⊥AB，又 a＜0，或a＞

5

12

，
即

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

，∴a=

3

4

，
∴存在实数a=

3

4

，满足题设．

点评：本题考查圆的标准方程以及直线和圆相交的性质，两直线垂直的性质，由存在实数a，使得A，B关于l对称得到

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

 是解题的关键和难点．