Question

设函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a
（I）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（II）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：由正余弦的倍角公式及正弦的和角公式把函数转化为y=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（I）由y=Asin（ωx+φ）+B的性质易于解决；
（II）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，先表示出f（x）的最值，再解得a，最后结合正弦函数的图象解得答案．

解答：解：f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a
=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

（I）所以T=

2π

2

=π．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+ 2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+ kπ．
所以f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ ，

2π

3

+ kπ]（k∈Z）．
（II）因为-

π

6

≤x≤

π

3

，所以-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
所以-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，f（x）_max+f（x）_min=（1+a+

1

2

）+（-

1

2

+a+

1

2

）=

3

2

，
解得a=0，所以f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．
由f（x）＞1得，sin(2x+

π

6

)＞

1

2

所以2x+

π

6

∈(2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

)
解得x∈(kπ，kπ+

π

3

)．

点评：本题考查倍角公式、和角公式及函数y=Asin（ωx+φ）+B的性质，同时考查转化思想．