Question

已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在直线x+2y-4=0上，直线l的方程为（k-1）x+2y+5-3k=0．
（1）求圆C的方程；
（2）证明：直线l与圆C恒相交；
（3）求直线l被圆C截得的最短弦长．

Answer 1

分析：（1）根据条件，利用待定系数法求出圆的方程．
（2）根据直线过定点（3，-1），而M（3，-1）在圆的内部，从而得到直线l与圆C恒相交．
（3）圆心C（2，1），半径为5，由题意知，当点M满足CN垂直于直线l时，弦长最短，利用弦长公式求得结果．

解答：解：（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0． …（2分）
由条件，得

1+9-D-3E+F=0 4+36+2D+6E+F=0 (- D 2 )+2×(- E 2 )-4=0

，解得

D=-4 E=-2 F=-20

，
∴圆C的方程为x²+y²-4x-2y-20=0． …（6分）
（2）由（k-1）x+2y+5-3k=0，得k（x-3）-（x-2y-5）=0，
令

x-3=0 x-2y-5=0

，得

x=3 y=-1

，即直线l过定点M（3，-1），…（8分）
由3²+（-1）²-4×3-2×（-1）-20＜0，知点M（3，-1）在圆内，
∴直线l与圆C恒相交．         …（10分）
（3）圆心C（2，1），半径为5，由题意知，当点M满足CM垂直于直线l时，弦长最短．
直线l被圆C截得的最短弦长为2

52-[(2-3)2+(1+1)2]

=4

5

．…（14分）

点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．