Question

如图所示，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若 =(0，-4)，M在轴上，且AM=，点C在轴上移动．

 

(Ⅰ)求点B的轨迹E的方程;  

(Ⅱ)过点F(0，)的直线与曲线E交于P、Q两点，设N(0，)(<0)，与的夹角为，若≤等恒成立，求的取值范围;

(Ⅲ)设以点N为圆心，以半径的圆与曲线E在第一象限的交点为H，若圆在点H处的切线与曲线E在点H处的切线互相垂直，求的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵  ∴M是BC的中点

    设B()则M(O，)，C(-，0)

     

   ∵∠C=90°  ∴OB⊥CA 

    ()?()=0 ∴  

    (Ⅱ)设直线方程为，

    由   知

    ∴   

    由知()?()≥0

   

    又

   ∴

    ∴ 恒成立

    ∴  又

    ∴

  (Ⅲ)由题意知，NH是曲线C的切线，设

      则,

     ∴.

    又因 ,                           

 消去得

    解得或

     ∵

∴