Question

函数f（x）=2x²-2ax-2a-1（-1≤x≤1）的最小值为g（a）（a∈R）．
（1）求g（a）；
（2）若g（a）=

1

2

，求a及此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）求得函数f（x）=2x²-2ax-2a-1（-1≤x≤1）的对称轴x=

a

2

，分区间[-1，1]在对称轴的左侧，右侧、对称轴穿过区间[-1，1]讨论即可求得f（x）的最小值为g（a）（a∈R）；
（2）根据g（a）=

1(a＜-2) - a2 2 -2a-1(-2≤a≤2) -4a+1(a＞2)

，若g（a）=

1

2

，只有-

a2

2

-2a-1=

1

2

（-2≤a≤2）符合，从而求得a，继而求得此时f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵f(x)=2x2-2ax-2a-1=2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1
∴（ⅰ）

a

2

＜-1即a＜-2时，g（a）=1．
（ⅱ）-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，g（a）=-

a2

2

-2a-1
（ⅲ）

a

2

＞1即a＞2时，g（a）=-4a+1　　　（5分）
∴g（a）=

1，(a＜-2) - a2 2 -2a-1，(-2≤a≤2) -4a+1，(a＞2)

　　　　（6分）
（2）∵g（a）=

1

2

，
∴-

a2

2

-2a-1=

1

2

（-2≤a≤2），
∴a=1　　　　　　（9分）
此时，f(x)=2(x+

1

2

)2+

1

2

，f(x)max=5（12分）

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，求g（a）的关键在于根据对称轴在给定区间上的左侧、右侧及穿过区间的情况确定，属于中档题．