题目内容

已知函数 $数学公式$ 的图象在点（1，f（1））处得切线在y轴上的截距为3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是________．

[1，+∞）
分析：先根据图象在点（1，f（1））处得切线在y轴上的截距为3，求得b=3-2a，再将f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，转化为f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，构造新函数，再进行分类讨论，即可确定a的取值范围．
解答：由题意，f（1）=2a+b∵函数 $\text{[math]}$
∴f′（x）=a- $\text{[math]}$
∴f′（1）=0；
所以图象在点（1，f（1））处的切线为：y=f（1）=2a+b=3∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
设g（x）=f（x）-x=（a-1）x+ $\text{[math]}$ +3-2a，
∴g′（x）=a-1- $\text{[math]}$ a≤0时，x²＞1，0＜ $\text{[math]}$ ＜1，∴0＜ $\text{[math]}$ ＜-a，∴a-1- $\text{[math]}$ ＜-1＜0； 0＜a＜1时，a-1＜0，∴ $\text{[math]}$ ＜0，∴a-1- $\text{[math]}$ ＜0；所以a＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（x）＞0不会恒成立，不满足题意；
把a=1代入可得：g（x）= $\text{[math]}$ +1＞0在（1，+∞）上恒成立，符合条件； a＞1时，g′（x）=0 得：x= $\text{[math]}$ ；当x＞ $\text{[math]}$ 时，g′（x）＞0；1＜x＜ $\text{[math]}$ 时，g′（x）＜0 所以g（x）_min=g $\text{[math]}$ ）＞0即可即：（a-1） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +3-2a＞0
∴ $\text{[math]}$ ①当1＜a≤ $\text{[math]}$ 时，上式恒成立； ②当a＞ $\text{[math]}$ 时，平方得：4a²-4a＞4a²-12a+9 即：a＞ $\text{[math]}$ ；
∴a＞ $\text{[math]}$ 时，符合题意；综上可知：a的取值范围是：[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题时正确分类，利用导数确定函数的单调性是关键