题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且四个顶点构成的四边形的面积是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线经过点
,且不垂直于
轴,直线
与椭圆
交于
,
两点,
为
的中点,直线
与椭圆
交于
,
两点(
是坐标原点),若四边形
的面积为
,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)离心率提供与
的关系,四个顶点构成的四边形对角线互相垂直,列出等量关系求
,
的值;
(2)直线经过点
,由直线点斜式方程设出直线
的方程,并设出直线
与椭圆
交点
、
的坐标,联立方程,由韦达定理可表示出
的中点
的坐标;由中点
的坐标可得直线
的方程,联立直线
的方程与椭圆
的方程,利用韦达定理可求
,再利用点到直线距离公式可求点
、
到直线
的距离,由四边形
的面积为
可列出等量关系,最后可求出直线
的方程.
解:(1)由题意可得,
解得,
,
故椭圆的方程为
.
(2)设直线的方程为
,
,
.
联立,整理得
,
则,
,
从而,故
,
直线的斜率为
,所以直线
的方程为
,
即.
联立,整理得
,
则.
设点到直线
的距离为
,则点
到直线
的距离也为
,
从而.
∵点,
在直线
的两侧,
∴,
∴,则
,
∵,
∴,
则四边形的面积
,
∵四边形的面积为
,
∴,解得
,
故直线的方程为
.
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练习册系列答案
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单价 | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量 | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)根据以上数据,求关于
的线性回归方程;
(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?
(参考公式:回归方程,其中
)