Question

若函数f（x）=4×9^-|x-2|-2（P-2）×3^-|x-2|-2P²-P+1在区间[2，+∞）内至少存在一个实数c使f（c）＞0，则实数P的取值范围是

 

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Answer 1

分析：用还原法得到函数g（t）=4t²-2（p-2）t-2p²-p+1，t∈（0，1]，原题等价于在区间（0，1]内至少存在一个实数c使g（c）＞0，因为g（t）图象开口向上所以只要g（1）或者g（0）大于0即可．

解答：解：设t=3^-|x-2|因为x∈[2，=∞）所以t∈（0，1]
所以g（t）=4t²-2（p-2）t-2p²-p+1，t∈（0，1]
所以原题等价为：在区间（0，1]内至少存在一个实数c使g（c）＞0
∵g（t）图象开口向上
∴只要g（1）或者g（0）大于0即可
所以

g(1)=4-2(p-2)-2p2-p+1＞0 g(0)=-2p2-p+1＞0

解得-3＜x＜

3

2

所以实数P的取值范围是（-3，3/2）．
故答案为：（-3，3/2）．

点评：此类题目的解决方法可以从正面入手，对于“至少存在…”类似的问题可先做它的反面，即假设二次函数在区间（0，，1]内均小于等于0，取结果的补集即可答案．