Question

8．已知圆心为C的圆经过A（-1，-2）和B（0，1），且圆心C在直线y=x-2上．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点M（-4，-1）的直线l被圆C所截得的弦长为$\sqrt{10}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设圆的标准方程为（x-a）²+（y-a+2）²=r²，将题中点的坐标代入，解关于a、r的方程组，即可得到圆C的标准方程；
（2）由弦长公式求出圆心C到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离，由这两个距离相等求出直线的斜率，即得直线的方程．

解答 解：（1）由圆心在直线y=x-2上，设圆心C的坐标为（a，a-2），
圆的标准方程为（x-a）²+（y-a+2）²=r²，
可得（-1-a）²+（-2-a+2）²=r²，（0-a）²+（1-a+2）²=r²，
解之得a=1，r²=5，
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=5；
（2）圆心C到直线l的距离为$\sqrt{5-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
当直线l垂直于x轴时，方程为x=-4，不满足条件，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y+1=k（x+4），即kx-y+4k-1=0，
由$\frac{|k+1+4k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得k=±$\frac{1}{3}$，
∴直线l的方程为x-3y+1=0或x+3y+7=0．

点评 本题给出圆心在定直线上的圆经过两个定点，求圆的标准方程，着重考查了圆的标准方程及其应用的知识，点到直线的距离公式的应用，利用点到直线的距离公式求出直线的斜率是解题的关键．属于中档题．