Question

已知函数f（x）=lg[H（x）]，且H（x）=

x2+3x+6

x+1

，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）在区间[2，4]上的最小值；
（3）已知m∈R，命题p：关于x的不等式H（x）≥m²+2m-3对函数f（x）的定义域上的任意x恒成立；命题q：指数函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

x2+3x+6

x+1

＞0，而x²+3x+6＞0恒成立即可得函数f（x）的定义域；
（2）依题意，当x∈[2，4]时，由H（x）=

x2+3x+6

x+1

=x+1+

4

x+1

+1≥

16

3

，即可求得函数f（x）在区间[2，4]上的最小值；
（3）当命题p为真时，可求得-4≤m≤2；当命题q为真时，可求得m＞

2

或m＜-

2

；由“p或q”为真，“p且q”为假，可分类讨论，求得m的取值范围．

解答：解：（1）由

x2+3x+6

x+1

＞0，x²+3x+6＞0恒成立得：x+1＞0即x＞-1，
∴f（x）的定义域为：（-1，+∞）．
（2）由H（x）=

x2+3x+6

x+1

=

(x+1)2+(x+1)+4

x+1

=x+1+

4

x+1

+1，x∈[2，4]得：
H（x）在[2，4]上单调递增；
∴H（x）=x+1+

4

x+1

+1≥H（2）=

16

3

，
∴f（x）_min=lg[H（x）_min]=lg

16

3

-4lg2-lg3；
（3）由在函数f（x）的定义域上 的任意x，H（x）=x+1+

4

x+1

+1≥2

(x+1)• 4 x+1

+1=5，当且仅当x+1=

4

x+1

，即x=1时等号成立．
当命题p为真时，m²+2m-3≤5即-4≤m≤2；而命题q为真时：指数函数m²-1＞1，即m＞

2

或m＜-

2

．
因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以
当命题p为真，命题q为假时，{m|-4≤m≤2}∩{m|-

2

≤m≤

2

}={m|-

2

≤m≤

2

}；
当命题p为假，命题q为真时，{m|m＜-4或m＞2}∩{m|m＜-

2

或m＞

2

}={m|m＜-4或m＞2}，
所以m的取值范围为：（-∞，-4）∪[-

2

，

2

]∪（2，+∞）．

点评：本题考查复合命题的真假，着重考查函数单调性的性质，考查函数单调性的判断与证明，考查“双钩函数”的单调性，属于难题．