题目内容

【题目】如图,等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上,且圆O过点A,又圆O的直径ADBC,垂足为E,设圆锥SO的底面半径为1,圆锥体积为

(1)求圆锥的侧面积;

(2)求异面直线ABSD所成角的大小;

(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为,求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小。

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

1)利用圆锥体积可求得圆锥的高,进而得到母线长,根据圆锥侧面积公式可求得结果;(2)作交圆锥底面圆于点,则即为异面直线所成角,在中,求解出三边长,利用余弦定理可求得,从而得到结果;(3)根据截面面积之比可得底面积之比,求得,进而求得等边三角形的边长,利用正棱锥的特点可知若的中心,则即为侧棱与底面所成角,在中利用正切值求得结果.

1)设圆锥高为,母线长为

由圆锥体积得:

圆锥的侧面积:

2)作交圆锥底面圆于点,连接

即为异面直线所成角

由题意知:

,又

即异面直线所成角为:

3平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为

,即为边长为的等边三角形

的中心,连接,则

三棱锥为正三棱锥 平面

即为侧棱与底面所成角

即侧棱与底面所成角为:

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