Question

设f(x)是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．

对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

(1)证明：对任意的x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，则(0，x₂)为含峰区间；若f(x₁)≤f(x₂)，则(x*，1)为含峰区间；

(2)对给定的r(0＜r＜0.5＝，证明：存在x₁，x₂∈(0，1)，满足x₂－x₁≥2r，使得由(Ⅰ)所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r；

(3)选取x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0，x₂)或(x₁，1)，在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x₂)的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：设x*为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减． 　　当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0，x2)，则x1＜x2＜x*，从而f(x*)≥f(x2)＞f(x1)，这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0，x2)，即(0，x2)是含峰区间． 　　当f(x1)≤f(x2)时，假设x*(x2，1)，则x*＜≤x1＜x2， 　　从而f(x*)≥f(x1)＞f(x2)， 　　这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1，1)，即(x1，1)是含峰区间． 　　(2)证明：由(I)的结论可知： 　　当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2； 　　当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2＝1－x1； 　　对于上述两种情况，由题意得 　　① 　　由①得1＋x2－x1≤1＋2r，即x1－x1≤2r． 　　又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1＝2r，② 　　将②代入①得x1≤0.5－r，x2≥0.5－r，③ 　　由①和③解得x1＝0.5－r，x2＝0.5＋r． 　　所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r． 　　(3)解：对先选择的x1；x2，x1＜x2，由(Ⅱ)可知x1＋x2＝1，④ 　　在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2，⑤ 　　由④与⑤可得，当x1＞x3时，含峰区间的长度为x1． 　　由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34． 　　因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3＝0.32．