Question

已知函数f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且在区间[3，7]上是增函数，在区间[4，6]上的最大值为1007，最小值为-2，则2f（-6）+f（-4）=（　　）

A．-2012

B．-2011

C．-2010

D．2010

Answer 1

分析：先令x=y=0求得f（0）=0，再令y=-x，求得f（x）+f（-x）=0，从而判断函数f（x）为奇函数；利用奇函数在区间[3，7]上是增函数，在区间[4，6]上的最大值为1007，最小值为-2，即可求得2f（-6）+f（-4）的值．

解答：解：令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
故f（x）+f（-x）=0，
所以函数f（x）为奇函数．
由函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，可知函数f（x）在区间[4，6]上也是增函数，
故最大值为f（6）=1007，最小值为f（4）=-2．
而f（-6）=-f（6）=-1007，f（-4）=-f（4）=2，
所以2f（-6）+f（-4）=2×（-1007）+2=-2012．
故选A

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，突出函数奇偶性与单调性的综合应用，考查分析与推理、运算能力，属于中档题．