Question

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

16

+

y2

12

=1的左焦点和右焦点，点M在椭圆上，且∠F₁MF₂=

π

3

，求：
（1）△F₁MF₂的面积；
（2）M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据椭圆的标准方程，利用椭圆的定义及余弦定理，构建方程，从而确定M为椭圆的上顶点（或下顶点），进而可求）△F₁MF₂的面积；
（2）根据M为椭圆的上顶点（或下顶点），可求M点的坐标．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

16

+

y2

12

=1
∴a²=16，b²=12
∴c²=a²-b²=4
∴c=2，a=4，b=2

3

∴椭圆

x2

16

+

y2

12

=1的左焦点和右焦点分别为（±2，0）
设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则

m+n=8 16=m2+n2-2mncos π 3

∴m=n=4
∴M为椭圆的上顶点（或下顶点）
∴△F₁MF₂的面积为

1

2

×4×2

3

=4

3

；
（2）∵M为椭圆的上顶点（或下顶点），b=2

3

∴M点的坐标为(0，±2

3

)

点评：本题重点考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的运用，确定M为椭圆的上顶点（或下顶点），是解题的关键．