Question

11．当x满足log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥-2时，求函数y=4^-x-2^-x+1的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析 解对数不等式可得-1≤x＜3，换元可化原问题为y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在t∈（$\frac{1}{8}$，2]的最值，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥-2等价于log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$4，
由对数函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x在（0，+∞）单调递减可得0＜3-x≤4，
解得-1≤x＜3，∴t=2^-x∈（$\frac{1}{8}$，2]，
∴y=4^-x-2^-x+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函数可得y在t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$）单调递减，在t∈（$\frac{1}{2}$，2）单调递增，
∴当t=2^-x=$\frac{1}{2}$即x=1时，函数取最小值$\frac{3}{4}$；
当t=2^-x=2即x=-1时，函数取最大值3．

点评 本题考查对数的图象和性质，涉及换元法和二次函数区间的最值，属基础题．