Question

若函数f(x)是R上的增函数,且恒有f(x)＞0,设F(x)=.利用函数的单调性定义证明函数F(x)是R上的减函数.

Answer 1

思路解析:利于单调性定量化定义证明的关键是推证F(x₁)和F(x₂)的大小.

证明:在区间R上任意选取x₁,x₂,且x₁＜x₂.∵f(x)是区间R上的增函数,

∴f(x₁)＜f(x₂).又∵f(x)＞0,∴0＜f(x₁)＜f(x₂).∴＞＞0,即F(x₁)＞F(x₂).∴函数F(x)= 是R上的增函数.

误区警示

在利用函数单调性的定量化定义证明函数的单调性时,虽然“作差”是我们比较大小的一种重要且常用的方法,但是,“作差”也仅是我们比较大小的一种手段,而不是目的,比较大小才是我们的目的.因此,比较大小不一定“作差”,还可以利用不等式的性质比较大小,以及“作商”等方法.