Question

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为

17

4

． 
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用点M（4，0）到抛物线准线的距离为4+

p

2

=

17

4

，即可得出p．
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），利用抛物线的方程和斜率计算公式即可得出．

解答：解：（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为4+

p

2

=

17

4

，
∴p=

1

2

，即抛物线C的方程为y²=x．
（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∴

yH-y1

xH-x1

=-

yH-y2

xH-x2

，
∴

yH-y1

y 2 H - y 2 1

=-

yH-y2

y 2 H - y 2 2

，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．
kEF=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 - y 2 1

=

1

y1+y2

=-

1

4

．

点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、圆的切线的性质、斜率计算公式等是解题的关键．