题目内容
13.已知命题P:函数f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时,则f(x)≥2恒成立.(1)当命题P为真命题时,求实数a的取值集合M;
(2)当集合E={a|a∈M}∩Z(Z为整数集)时,求集合E的子集的个数.
分析 (1)当x∈[-2,2]时,f(x)≥2恒成立,即x2+ax+1-a≥0在[-2,2]上恒成立,分两种情况:若根的判别式小于等于0时满足题意;根的判别式大于0时,可得f(2)与f(-2)都大于等于0,且对称轴大于等于2或小于等于-2,求出a的范围即可确定出M;
(2)求出M与整数集的交集确定出E,求出E子集个数即可.
解答 解:(1)∵函数f(x)=x2+ax+3-a,当x∈[-2,2]时,f(x)≥2恒成立,
∴x2+ax+1-a≥0在[-2,2]上恒成立,
∵△=a2-4(1-a)≤0,
∴-2-2$\sqrt{2}$≤a≤-2+2$\sqrt{2}$,
或$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4(1-a)>0}\\{f(2)≥0}\\{f(-2)≥0}\\{-\frac{a}{2}≥2或-\frac{a}{2}≤-2}\end{array}\right.$,
解得:-5≤a<-2$\sqrt{2}$-2,
则M={a|-5≤a≤2$\sqrt{2}$-2};
(2)由(1)得:M={a|-5≤a≤2$\sqrt{2}$-2},
∴E={a|a∈M}∩Z(Z为整数集)={-5,-4,-3,-2,-1,0},
则集合E的子集个数为26=64.
点评 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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