Question

如图，在一条河流的上、下游分别有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m³，每天流过甲厂的河水流量是500万m³（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m³，每天流过乙厂的河水流量是700万m³（含乙厂排放的污水）．由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化．假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放．
（1）求河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是多少？（精确到0.01%）
（2）根据环保要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两家工厂都必须各自处理一部分污水．已知甲厂处理污水的成本是1000元/万m³，乙厂处理污水的成本是1000元/万m³，求甲、乙两厂每天分别处理多少万m³污水，才能使两厂处理污水的总费用最少？最小总费用是多少元？

Answer 1

分析：（1）根据题意，写出甲厂排放的污水在流到乙厂时有多少被净化，从而得出河流在经过乙厂后污水的总含量，最后写出河流在经过乙厂后污水含量的百分比即可；
（2）先设设甲、乙两厂每天分别处理污x，，y万m³，两厂处理污水的总费用为z元，依题意得列出约束条件和目标函数，最后依据线性规则的方法求出目标函数的最大值即可．

解答：解：（1）由题意，甲厂排放的污水在流到乙厂时有2×20%=0.4（万m³）被净化，
所以河流在经过乙厂后污水的总含量为（2-0.4）+1.4=3（万m³）．
故河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是

3

700

≈0.43%．（6分）
（2）设甲、乙两厂每天分别处理污x，y万m³，两厂处理污水的总费用为z元．z=1000×1+800×0.8=1640

2-x 500 ≤ 0.2 100 0.8(2-x)+(1.4-y) 700 ≤ 0.2 100 0≤x≤2 0≤y≤1.4

即

4x+5y≥8 1≤x≤2 0≤y≤1.4

目标函数为z=1000x+800y.9（8分）
作可行域，如图．（11分）
平移直线l：4x+5y=0，当直线经过点A（1，0.8）时，z取最小值，
此时（元）（13分）
故甲、乙两厂每天应分别处理1万m³、0.8万m³污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，
且最小总费用是1640元．（15分）

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．