题目内容
已知数列
满足
, 
，
．
（1）求证：
是等比数列；
（2）求证：
是等比数列并求数列的通项公式；
（3）设
，且
对于
恒成立，求
的取值范围．
满足, ，．（1）求证：
是等比数列；（2）求证：
是等比数列并求数列的通项公式；（3）设
，且对于恒成立，求的取值范围．（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)，∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n ，∴ (an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)，
故数列是以2为首项，-2为公比的等比数列，∴ an－3n＝2(－2)n－1 ，
即an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n ………9分
（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－
)n
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n
Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)( )n＋n()n＋1 …………11分
得
Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1
∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜6，要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，
只须m≥6
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n ，∴ (an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)，
故数列
是以2为首项，-2为公比的等比数列，∴ an－3n＝2(－2)n－1 ，即an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n ………9分
（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－
)n令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝
＋2()2＋3()3＋…＋n()nSn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)( )n＋n()n＋1 …………11分得
Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1∴ Sn＝6[1－(
)n]－3n()n+1＜6，要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，只须m≥6
略
练习册系列答案
相关题目
满足：
，
，
．
及
（
），求数列
的前n项和
。
，
且
为等比数列
的前三项.
的通项公式；
，求
．
．数列{an}满足
，数列{cn}满足
．
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
的前n项的和为
，利用倒序求和的方法得：
；类似地，记等比数列
的前n项的积为
，且
，试类比等差数列求和的方法，将
，末项
与项数n的一个关系式，即
中，已知
，则前
项和
取最大值时所对应的项数
是公比大于1的等比数列，
为数列
项和，已知
且
成等差数列。
求和：
。
中，
，
，则数列
等于（ ）
是等差数列
的前
项和，若
