Question

在数列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=

an2

2(an-1)

(n∈N*)
（1）求证a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求证a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求证：k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1．

Answer 1

分析：（1）本题的思路是用数学归纳法来证明，在从n=k到n=k+1时利用归纳假设时要充分变形，对分式进行分离变式，即ak+1=

ak2

2(ak-1)

变形为：

1

2

[(a k-1)+

1

ak-1

+2]，然后用上归纳假设a_k＞2，利用均值不等式可以解答了．
（2）证明a_n+1＜a_n，可以利用作差变形来证明，本题会用到（1）的结论，这一点要想到！
（3）的证明有一定难度，但是只要耐心，细心分析，不难找到解答思路．由已知a_k≥3要构造出a_k的表达式来，然后利用函数的单调性解出k的范围．本问可以先由要求证的问题k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1推演出a(

3

4

)k-1＞3，那么联想条件a_k≥3，再利用放缩法构造出的a_k的关系式来，问题就迎刃而解了．

解答：证明：（1）①当n=1时，a₁=a＞2，命题成立；
设当n=k时（k≥1且n∈N^*）命题成立，即a_k＞2
而n=k+1时，ak+1=

ak2

2(ak-1)

=

1

2

[(a k-1)+

1

ak-1

+2]
∵a_k＞2，∴a_k-1＞1，∴ak-1≠

1

ak-1

，
∴(a k-1)+

1

ak-1

＞2∴ak+1＞

1

2

[2+2]=2，
∴n=k+1时，a_k+1＞2，命题也成立beiwen
由①②对一切n∈N^*有a_n＞2
（2）an+1-an=

-an(an-2)

2(an-1)

∵a_n＞2，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴a_n+1＜a_n
（3）∵a_n+1＜a_n，a_k≥3∴a₁＞a₂＞a₃＞…＞a_k-1＞a_k≥3
∴

ak

ak-1

=

ak-1

2(ak-1-1)

=

1

2

[1+

1

ak-1-1

]＜

1

2

(1+

1

3-1

)=

3

4

即

ak

ak-1

＜

3

4

∴ak=a1•

a2

a1

•

a3

a2

•…•

ak

ak-1

＜a1•

3

4

•

3

4

•…•

3

4

=a(

3

4

)k-1
∴3≤ak＜a(

3

4

)k-1，
∴a(

3

4

)k-1＞3，
∵a＞3，
∴(

3

4

)k-1＞

3

a

∴(k-1)ln

3

4

＞ln

3

a

，又ln

3

4

＜0∴k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1

点评：本题考查不等式的证明，综合考查了数学归纳法，放缩法，作差法等方法；对不等式结构的变形和灵活处理是本题的难点和关键所在，特别是在运用放缩法的时候更加体现出学生灵活的头脑，熟练处理各种变形的机智和果敢．本题在某一个环节处理不当将导致解答错误或者出力而不讨好的结局．