Question

设函数f（x）=x（x-1）（x-a）（a∈R），f（x）的两个极值点为A（α，f（α）），B（β，f（β）），线段AB的中点为M．
（1）如果函数f（x）为奇函数，求实数a的值；当a=2时，求函数f（x）图象的对称中心；
（2）如果M点在第四象限，求实数a的范围；
（3）证明：点M也在函数f（x）的图象上，且M为函数f（x）图象的对称中心．

Answer 1

分析：（1）【法一】取特殊值，求得a=-1，再验证f（x）为奇函数；
【法二】利用奇函数的定义，可求a的值；当a=2时，利用图象的变换，可得数f（x）=x（x-1）（x-2）图象的对称中心；
（2）求导数，可得α，β为3x²-2（1+a）x+a=0两实根，再利用韦达定理确定M的坐标，利用M点在第四象限，建立不等式组，即可求实数a的范围；
（3）证明点M也在函数f（x）的图象上．【法一】设P（x₀，y₀）为函数f（x）的图象上任意一点，证明P（x₀，y₀）关于M的对称点在函数f（x）=x（x-1）（x-a）的图象上；
【法二】利用图象的变换证明结论即可．

解答：（1）解：【法一】因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1），得：-1•（-1-1）（-1-a）=0，∴a=-1．
当a=-1时，f（x）=x（x-1）（x+1）=x（x²-1），有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数．…（4分）
【法二】f（x）=x³-（1+a）x²+ax，f（-x）=-f（x）恒成立，（-x）³-（1+a）x²-ax=-x³+（1+a）x²-ax，求得a=-1．
当a=2时，f（x）=x（x-1）（x-2），该图象可由奇函数f（x）=（x+1）x（x-1）的图象向右平移一个单位得到，可知函数f（x）=x（x-1）（x-2）图象的对称中心为（1，0）．…（4分）
（2）解：∵f′（x）=3x²-2（1+a）x+a，
令f′（x）=3x²-2（1+a）x+a=0，则α，β为3x²-2（1+a）x+a=0两实根．
∴α+β=

2(1+a)

3

，α•β=

a

3

.

f(α)+f(β)

2

=

1

2

[α3-(1+a)α2+aα+β3-(1+a)β2+aβ]
=

1

2

{(α+β)[(α+β)2-3αβ]-(a+1)[(α+β)2-2αβ]+a(α+β)}
=-

2(a+1)3

27

+

a(a+1)

3

=-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

，
∵点M(

α+β

2

，

f(α)+f(β)

2

)在第四象限，∴

△＞0 a+1＞0 (a+1)(2a-1)(a-2)＞0

∴a＞2或-1＜a＜

1

2

．…（10分）
（3）证明：由（2）得点M(

1+a

3

，-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

)，
又f(

1+a

3

)=

1+a

3

(

1+a

3

-1)(

1+a

3

-a)=

1+a

3

•

a-2

3

•

1-2a

3

=-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

，
所以点M也在函数f（x）的图象上．…（12分）
【法一】设P（x₀，y₀）为函数f（x）的图象上任意一点，P（x₀，y₀）关于M的对称点为Q(

2(1+a)

3

-x0，-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-y0)
而f(

2(1+a)

3

-x0)=(

2(1+a)

3

-x0)3-(1+a)(

2(1+a)

3

-x0)2+a(

2(1+a)

3

-x0)
=-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-x03+(a+1)x02-ax0=-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-y0．
即Q(

2(1+a)

3

-x0，-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-y0)在函数f（x）=x（x-1）（x-a）的图象上．
所以，M为函数f（x）的对称中心．…（16分）
【法二】设g(x)=f(x+

1+a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=(x+

1+a

3

)(x+

1+a

3

-1)(x+

1+a

3

-a)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=(x+

1+a

3

)(x+

a-2

3

)(x+

1-2a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=x3+(

1+a

3

+

a-2

3

+

1-2a

3

)x2+(

1+a

3

•

a-2

3

+

a-2

3

•

1-2a

3

+

1+a

3

•

1-2a

3

)x+

1+a

3

•

a-2

3

•

1-2a

3

+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=x3-

1

3

(a2-a+1)x．
∴g(x)=f(x+

1+a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

为奇函数，
对称中心为O（0，0）．
把函数g(x)=f(x+

1+a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

的图象按向量

OM

=(

1+a

3

，-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

)平移后得f（x）的图象，
∴M(

1+a

3

，-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

)为函数f（x）的对称中心．…（16分）

点评：本题考查函数的奇偶性与对称性，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，有一定的难度．