题目内容

如图,已知直三棱柱A1B1C1-ABC中,D为AB的中点,A1D⊥AB1,且AC=BC,
(1)求证:A1C⊥AB1
(2)若CC1到平面A1ABB1的距离为1,AB1=2
6
A1D=2
3
,求三棱锥A1-ACD的体积;
(3)在(2)的条件下,求点B到平面A1CD的距离.
(1)证明:在△CAB中,因为AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB.
又∵面ABB1A1⊥面ABC,且面ABB1A∩面ABC=AB,∴CD⊥平面ABB1A1,∴A1D是A1C在平面ABB1A上的射影.
∵AB1⊥A1D,由三垂线定理可得 A1C⊥AB.
(2)由(1)知CD=1,在Rt△AA1D及Rt△AA1B中,由A1D=2
3
AB1=2
6
,可求得AA1=2
2
,AD=2.
V三棱锥A1-ACD=
1
3
•(
1
2
AD•CD)•AA1=
1
6
×2×1×2
2
=
2
2
3

(3)∵AB与平面A1DC相交于点D,且D为AB的中点,∴点B到平面A1CD的距离为点A到平面A1CD的距离,
过A作AH⊥A1D于H,∵面ADA1⊥面A1DC,∴AH⊥面ADC,∴AH即为所求.
在Rt△AA1D中,AA1=2
2
,AD=2,A1D=2
3
,∴AH=
AD•AA1
A1D
=
2×2
2
2
3
=
2
3
6

∴点B到平面A1CD的距离为
2
3
6
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