Question

已知函数f(x)＝x⁴－4x³＋ax²－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．

(1)求实数a的值；

(2)设g(x)＝bx²－1，若关于x的方程f(x)＝g(x)的解集恰有3个元素，求实数b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵(x)＝4x3－12x＋2ax 　　∴f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，2]上是减函数， 　　∴(1)＝0，得a＝4． 　　(x)＝4x3－12x2＋8x＝4x(x－1)(x－2) 　　当x∈[0，1]时，(x)≥0，而f(x)在此区间上为增函数， 　　当x∈[1，2]时，(x)≤0，而f(x)在此区间上为减函数， 　　即a＝4符合题目要求． 　　(2)由f(x)＝g(x)，得x2(x2－4x＋4－b)＝0有3个相异的实根， 　　故x2－4x＋4－b＝0有两个相异的非零根． 　　∴Δ＝16－4(4－b)＞0且4－b≠0， 　　得0＜b＜4或b＞4．