题目内容
已知F1,F2为椭圆C:(a>b>0)的左右焦点,椭圆上的点到F2的最近距离为2,且离心率为.(1)椭圆C的方程;
(2)设点A(-1,2),若P是椭圆C上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)若E是椭圆C上的动点,求的最大值和最小值.
【答案】分析:(1)由题意得到关于a,c的方程组,求出a,c后利用b2=a2-c2求出b则椭圆方程可求;
(2)设出M点的坐标,利用中点坐标公式用M的坐标表示P的坐标,代入椭圆方程后即可得到M的轨迹方程;
(3)设出E点坐标,代入椭圆方程得到E点横纵坐标的关系,写出向量和的坐标,直接代入数量积后可求范围.
解答:解:(1)由条件知,解得c=1,a=3.
则b2=a2-c2=8.
所以椭圆C:;
(2)设M(x,y),因为M为PA的中点,所以P(2x+1,2y-2).
又因为点P在椭圆上,所以即为所求点M的轨迹方程;
(3)设E(x,y),则有.
因为F1(-1,0),F2(1,0).
所以
=.
因为点E在椭圆上,所以0.
所以.
所以当时,所求最小值为7,当时,所求最大值为8.
点评:本题考查了椭圆标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了代入法求曲线方程,考查数量积公式,属中档题.
(2)设出M点的坐标,利用中点坐标公式用M的坐标表示P的坐标,代入椭圆方程后即可得到M的轨迹方程;
(3)设出E点坐标,代入椭圆方程得到E点横纵坐标的关系,写出向量和的坐标,直接代入数量积后可求范围.
解答:解:(1)由条件知,解得c=1,a=3.
则b2=a2-c2=8.
所以椭圆C:;
(2)设M(x,y),因为M为PA的中点,所以P(2x+1,2y-2).
又因为点P在椭圆上,所以即为所求点M的轨迹方程;
(3)设E(x,y),则有.
因为F1(-1,0),F2(1,0).
所以
=.
因为点E在椭圆上,所以0.
所以.
所以当时,所求最小值为7,当时,所求最大值为8.
点评:本题考查了椭圆标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了代入法求曲线方程,考查数量积公式,属中档题.
练习册系列答案
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+
=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=
,则椭圆的方程为( )
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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