题目内容

f（x）是定义域在R上的函数，已知：f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：判断f（x）的奇偶性并证明你的结论．
（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
练习册系列答案
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18、已知f（x）是定义域在R上的函数，且有下列三个性质：
①函数图象的对称轴是x=1；
②在（-∞，0）上是减函数；
③有最小值是-3；
请写出上述三个条件都满足的一个函数
y=（x-1）2-3
．
若函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为虚界函数，给出下列函数：
①f（x）=0；
②f（x）=x2；
③f（x）=sinx+cosx；
④f（x）=
xx2+x+1
；
⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|．
其中是虚界函数的序号为
①④⑤
①④⑤
．
已知函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递减，求满足f（x2+2x+3）＞f（-x2-4x-5）的x的集合．
设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
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)=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；                
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．
已知f（x）是定义域在R上的函数，f（2+x）=-f（2-x），f（x+2）=-
1f(x)
．
（1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期；
（2）判断f（x）的奇偶性．

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