Question

已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动．则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为（　　）

• A．

  π

  9

• B．

  2π

  9

• C．

  π

  3

• D．

  4π

  9

Answer 1

分析：根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．即可求出结果．

解答：解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，（N与D不重合）连接N点与D点
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
N与D重合也满足题意，∠ADC=120°
故P点的轨迹是一个以D中心，半径为1的半球的

1

3

．
所以所求体积为：

1

3

×

1

2

×

4

3

π=

2π

9

，
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．考查空间想象能力，计算能力．