Question

【题目】已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且 =2，其中O为原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1 ， k2 ， 证明：k12+k22﹣2k2为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，

其中△=4p2k2+16p＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，

∴ = = =﹣4p+4，

由已知，﹣4p+4=2，解得p= ，

∴抛物线E的方程为x2=y

（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，

= = =x1﹣x2，

同理k2=x2﹣x1，

∴ =2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16

【解析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到 =2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1 ， y2 ， 得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．