Question

已知函数f（x）=

6-ax

a-2

（a∈R）
①若a＞0，则f（x）的定义域是

（-∞，

6

a

]

；
②若f（x）在区间（0，2]上是减函数，则实数a的取值范围是

（-∞，0）∪（2，3]

．

Answer 1

分析：①要使函数有意义，需被开放数大于或等于零，解不等式即可得函数定义域
②此函数为复合函数，外层函数与内层函数的单调性都与a有关，故需讨论a的正负及a与2的大小，利用复合函数单调性的判断方法，（0，2]应为函数减区间的子区间，即可解得a的范围

解答：解：①欲使函数f（x）=

6-ax

a-2

（a∈R）成立，需满足6-ax≥0，即ax≤6．
∵a＞0，∴x≤

6

a

，
∴f（x）的定义域是（-∞，

6

a

]，
故答案为（-∞，

6

a

]
②函数f（x）=

6-ax

a-2

（a∈R）
若a＞2，则函数f（x）的定义域为（-∞，

6

a

]，
内层函数t=6-ax为减函数，外层函数y=

t

a-2

为增函数，
故函数f（x）在（-∞，

6

a

]上为减函数，
∴（0，2]⊆（-∞，

6

a

]，
∴

6

a

≥2，即2＜a≤3
若a=0，则函数为常函数，不合题意
若0＜a＜2，则函数f（x）的定义域为（-∞，

6

a

]，
内层函数t=6-ax为减函数，外层函数y=

t

a-2

为减函数，
故函数f（x）在（-∞，

6

a

]上为增函数，
不合题意
若a＜0，则函数f（x）的定义域为（

6

a

，+∞]，
内层函数t=6-ax为增函数，外层函数y=

t

a-2

为减函数，
故函数f（x）在（

6

a

，+∞]上为减函数，
∴（0，2]⊆（

6

a

，+∞]，
∴

6

a

≤0，即a＜0
故答案为（-∞，0）∪（2，3]

点评：本题考查了函数的定义域的求法，复合函数单调性的判断方法，分类讨论的思想方法