Question

已知函数f（x）=2sinxcos（x+

π

6

）-cos2x+m．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，函数f（x）的最小值为-3，求实数m的值．

Answer 1

分析：（I）先利用和差角公式及辅助角公式对函数进行化简可得，f（x）=sin（2x-

π

6

）+m-

1

2

，根据周期公式可求，
（II）由x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得-

2π

3

≤2x-

π

6

≤

π

3

结合正弦函数的性质可求-1≤sin(2x-

π

3

)≤

3

2

，求出函数的f（x）的最小值为m-

3

2

，根据已知可求m．

解答：解：（I）∵f（x）=2sinxcos(x+

π

6

)-cos2x+m=2sinx(

3

2

cosx-

1

2

sinx)-cos2x+m=

3

sinxcosx- sin2x-cos2x+m=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

-cos2x+m（3分）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

+m=sin（2x-

π

6

）+m-

1

2

．（5分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π（6分）
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]，有-

2π

3

≤2x-

π

6

≤

π

3

（8分）
∴-1≤sin(2x-

π

3

)≤

3

2

．（10分）
得到f（x）的最小值为m-

3

2

．（11分）
由已知，有m-

3

2

=-3则m=-

3

2

（12分）

点评：本题主要考查了三角函数的和差角公式及辅助角公式的应用，三角函数的性质的考查，关键是要熟练掌握基础知识，灵活应用．