Question

14．给出以下四个选项，正确的个数是（　　）
①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称
②函数y=3•2^x+1的图象可以由函数y=2^x的图象仅通过平移得到．
③函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$是同一函数．
④在△ABC中，若$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{3}$=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}}{2}$=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}}{1}$，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 0个

Answer 1

分析 根据函数图象的对称变换，分析函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称后的函数解析式与原函数解析式的关系，可判断①；
根据指数的运算性质及函数图象平移变换法则，可判断②；
分析两个函数的定义域和对应关系是否一致，可判断③；
根据已知结合向量数量积的定义及正弦定理的边角互化，求出tanA：tanB：tanC的值，可判断④

解答 解：①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称变换后的解析式为：f（x）=sin2（2π-x）cos（2π-x）=sin（4π-2x）cos（2π-x）=-sin2xcosx，
x=π不是函数f（x）=sin2xcosx的图象的对称轴，故①错误；
②函数y=3•2^x+1=${2}^{x+{log}_{2}3}+1$的图象可以由函数y=2^x的图象向左平移log₂3个单位，再向上平移1个单位得到，故②正确；
③函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$=$\frac{1}{2}$ln$\frac{（1-cosx）（1+cosx）}{{（1+cosx）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$ln$\frac{{sin}^{2}x}{{（1+cosx）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$ln${tan}^{2}\frac{x}{2}$=lntan$\frac{x}{2}$，
但函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$的定义域与函数y=lntan$\frac{x}{2}$的定义域不同，
故两个函数不是同一函数，故③错误；
④在△ABC中，若$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{3}$=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}}{2}$=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}}{1}$，
则$\frac{accosB}{3}=\frac{abcosC}{2}=bccosA$，
则$\frac{sinAsicCcosB}{3}=\frac{sinAsinBcosC}{2}=sinBsinCcosA$，
则2tanC=3tanB且tanA=2tanC，
则tanA：tanB：tanC=6：2：3，故④错误．
故正确的命题的个数是1个，
故选：A

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．