题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程:
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
【答案】(1),
(
为参数)(2)点
,最大值为
【解析】
试题分析:(1)根据将直线极坐标方程化为直角坐标方程
,根据图像伸缩变换得曲线
的直角坐标方程
,再根据椭圆参数方程得曲线
的参数方程
(
为参数)(2)根据点到直线距离公式得点
到直线
的距离为
利用配角公式得,再根据正弦函数性质得最值及对应自变量的取值
试题解析:(1)由题意知,直线的直角坐标方程为:
,...................2分
∵曲线的直角坐标方程为:
,
∴曲线的参数方程为:
(
为参数).....................5分
(2)设点的坐标
,则点
到直线
的距离为:
,............................7分
∴当时,点
,此时
...............10分
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