题目内容
设函数f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，则①f（
）=0； ②|f（
）|＜|f（
）|；③函数y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④函数y=f（x）的单调递增区间是：[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）；⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
【答案】分析：由辅助角公式，化简得f（x）=
sin（2x+θ），结合已知不等式得f（
）是函数的最大或最小值，从而得到
f（x）=
sin（2x+
+kπ）=±
sin（2x+
）．再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断，可得①③⑤通过证明可得其正确性，而②④存在反例说明它们不正确．
解答：解：f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x+θ），其中角θ满足cosθ=
，sinθ=
∵f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，
∴f（
）=
或-
，得2×
+θ=
+kπ，k∈Z
因此θ=
+kπ，k∈Z．f（x）=
sin（2x+
+kπ）=
sin（2x+
）或-
sin（2x+
）
对于①，因为sin（2×
+
）=sin2π=0，所以f（
）=±
sin（2×
+
）=0，故①正确；
对于②，|f（
）|=|
sin（2×
+
）|=
∵|f（
）|=|
sin（2×
+
）|=
sin
＜
∴|f（
）|＞|f（
）|，故②不正确；
对于③，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
对于④，因为函数的表达式f（x）=
sin（2x+
）或-
sin（2x+
），
表达式不确定，故[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确；
对于⑤，采用反证法
设经过点（a，b）的一条直线与函数y=f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行
方程为y=b，且|b|＞
，平方得b2＞a2+b2矛盾，故假设不成立
∴经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．故⑤正确．
故答案为：①③⑤
点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数和反证法等知识，属于中档题．
sin（2x+θ），结合已知不等式得f（）是函数的最大或最小值，从而得到f（x）=
sin（2x++kπ）=±sin（2x+）．再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断，可得①③⑤通过证明可得其正确性，而②④存在反例说明它们不正确．解答：解：f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x+θ），其中角θ满足cosθ=，sinθ=∵f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，∴f（
）=或-，得2×+θ=+kπ，k∈Z因此θ=
+kπ，k∈Z．f（x）=sin（2x++kπ）=sin（2x+）或-sin（2x+）对于①，因为sin（2×
+）=sin2π=0，所以f（）=±sin（2×+）=0，故①正确；对于②，|f（
）|=|sin（2×+）|=∵|f（
）|=|sin（2×+）|=sin＜∴|f（
）|＞|f（）|，故②不正确；对于③，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
对于④，因为函数的表达式f（x）=
sin（2x+）或-sin（2x+），表达式不确定，故[kπ+
，kπ+]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确；对于⑤，采用反证法
设经过点（a，b）的一条直线与函数y=f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行
方程为y=b，且|b|＞
，平方得b2＞a2+b2矛盾，故假设不成立∴经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．故⑤正确．
故答案为：①③⑤
点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数和反证法等知识，属于中档题．
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