Question

如图，等腰梯形ABCD中，线段Ab的中点O是抛物线的顶点，DA、AB、BC分别与抛物线切于点M、O、N．等腰梯形的高是3，直线CD与抛物线相交于E、F两点，线段EF的长是4．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求抛物线的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，以O为圆点，建立直角坐标系，则F（2，3），设抛物线方程为y=ax²，a＞0，将F（2，3）代入，能够求出抛物线方程．
（Ⅱ）由，设N（x，y），过点N的切线方程为，令y=0，又，，由此能求出等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．
解答：解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，以O为圆点，建立直角坐标系，则F（2，3），
设抛物线方程为y=ax²，a＞0，
将F（2，3）代入，得a=，
所以，抛物线方程为，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
设N（x，y），过点N的切线方程为，
令y=0，又，∴，
∴．
令y=3，又，∴，
∴，
∴，
当且仅当，即时，取“=”号，此时N（），M（-）．
点评：本题考查抛物线的性质和应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的合理运用．