题目内容

1．已知不等式a+2b+18＞（m2-m）（$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（-2，3）．

分析 将原不等式化为m2-m＜$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$，利用基本不等式得a+2b+18=（a+9）+2（b+9）≥2$\sqrt{9a}$+2×2$\sqrt{9b}$=6（$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$），求出$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$的最小值，再求出m的范围．

解答 解：原不等式化为：m2-m＜$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$对任意正数a，b都成立，
因为a+2b+18=（a+9）+2（b+9）
≥2$\sqrt{9a}$+2×2$\sqrt{9b}$=6（$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$），
当且仅当a=b=9时取等号，
所以$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$≥6，
即当a=b=9时$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$的最小值是6，
所以m2-m＜6，则m2-m-6＜0，解得-2＜m＜3，
则实数m的取值范围是（-2，3），
故答案为：（-2，3）．

点评 本题考查不等式的性质，基本不等式的灵活应用求最值，以及恒成立问题，属中档题．

练习册系列答案
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A．p1，p2，p3B．p2，p3，p4C．p1，p3D．p2，p4
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A．$\sqrt{3}$B．4C．$2\sqrt{3}$D．12
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A．2或-2B．2C．-2D．$\frac{1}{2}$

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