Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0
（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为径的圆上，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）将方程化为圆的标准方程，即可求实数m的取值范围；
（2）直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及向量知识，即可求得实数m的值．

解答：解：（1）方程x²+y²-2x-4y+m=0可化为（x-1）²+（y-2）²=5-m
∵方程表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）直线x+2y-4=0代入圆的方程，消去x可得：5y²-16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜

24

5

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂=

-16+4m

5

∵坐标原点O在以MN为径的圆上，
∴

OM

•

ON

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

-16+4m

5

+

8+m

5

=0
∴m=

8

5

．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．