Question

（2013•杭州二模）设P为函数f（x）=sin（πx）的图象上的一个最高点，Q为函数g（x）=cos（πx）的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（　　）

• A．

  π2 4 +4

• B．2
• C．

  17

  2

• D．2

  2

Answer 1

分析：分别令f（x）=1，g（x）=-1，可求得P、Q点的坐标，再用两点间距离公式可把|PQ|表示出来，由二次函数的性质可求得其最小值．

解答：解：令f（x）=sin（πx）=1，则πx=

π

2

+2k1π，解得x=

1

2

+2k₁，k₁∈Z，
所以P（

1

2

+2k₁，1），
令g（x）=cos（πx）=-1，则πx=π+2k₂π，解得x=1+2k₂，k₂∈Z，
所以Q（1+2k₂，-1），
所以|PQ|=

( 1 2 +2k1-1-2k2)2+(1+1)2

=

[2(k1-k2)- 1 2 ]2+4

，
因为k₁，k₂∈Z，所以k₁-k₂∈Z，
所以当k₁=k₂时，|PQ|取得最小值为

1 4 +4

=

17

2

，
故选C．

点评：本题考查正、余弦函数的图象、两点间距离公式，考查数形结合思想，属中档题．