题目内容

已知函数f(x)=ax2+x,(a∈R且a≠0)
(1)对于任意的实数x1,x2,比较
1
2
[f(x1)+f(x2)]
f(
x1+x2
2
)
的大小;
(2) 若x∈[0,1]时,有|f(x)|≤1,求实数a的取值范围.
分析:(1)利用作差进行比较,将
1
2
[f(x1)+f(x2)]
f(
x1+x2
2
)
进行作差然后配方,讨论系数的符号确定大小关系;
(2)当x=0时,|f(x)|=0符合题意,当x∈(0,1]时,|f(x)|≤1,然后将a分离出来,求出不等式另一边的最值即可求出a的范围.
解答:解:(1)
1
2
[f(x1)+f(x2)]-f(
x1+x2
2
)=
a
4
(x1-x2)
2
当a>0时,
1
2
[f(x1)+f(x2)]-f(
x1+x2
2
)≥0

1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)

当a<0时,
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)


(2)∵x∈[0,1]
当x=0时,|f(x)|=0符合题意;
当x∈(0,1]时,|f(x)|≤1
ax2+x≤1
ax2+x≥-1
a≤
1
x2
-
1
x
a≥-
1
x2
-
1
x

∴-2≤a≤0
又∵a≠0,∴-2≤a<0
点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及作差比较法和参数分离法的运用,属于基础题.
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