题目内容
(本题满分16分)
已知函数
,
.
(Ⅰ)若函数
在
时取得极值,求
的值;
(Ⅱ)当
时,求函数
的单调区间.
已知函数


(Ⅰ)若函数



(Ⅱ)当


(Ⅰ)
(Ⅱ)当a<-1时,函数f(x)的单调减区间为
,
函数
的单调增区间为
.

(Ⅱ)当a<-1时,函数f(x)的单调减区间为


函数


解:(Ⅰ)
.
……3分
依题意得
, 经检验符合题意. ……6分
(Ⅱ)
,设
,
(1)当a=0时,f(x)=-e,f(x)在R上为单调减函数. ……8分
(2)当a<0时,方程
=0的判别式为
,
令
, 解得a=0(舍去)或a=-1.
1°当a=-1时,
,
即
,
且f’(x)在x=-1两侧同号,仅在x=-1时等于
,
则f(x)在R上为单调减函数. ……10分
2°当-1<a<0时,
,则
恒成立,
即f’(x)<0恒成立,则f(x)在R上为单调减函数. ……11分
3°a<-1时,
,令g(x)=0,
方程
有两个不相等的实数根
,
作差可知
,
则当
时,g(x)<0,f’(x)<0,f(x)在
上为单调减函数;
当
时,g(x)>0,f’(x)>0,
F(x)在
上为单调增函数;
当
时,g(x)<0,f’(x)<0,f(x)在
上为单调减函数. ……15分
综上所述,当
时,函数f(x)的单调减区间为R;当a<-1时,函数f(x)的单调减区间为
,
,函数
的单调增区间为
. ……16分
思路分析:第一问利用
依题意得
, 经检验符合题意.
第二问中,
,设
,
(1)当a=0时,f(x)=-e,f(x)在R上为单调减函数. ……8分
(2)当a<0时,方程
=0的判别式为
,
令
, 解得a=0(舍去)或a=-1.
构造函数讨论单调性。


依题意得

(Ⅱ)


(1)当a=0时,f(x)=-e,f(x)在R上为单调减函数. ……8分
(2)当a<0时,方程


令

1°当a=-1时,

即

且f’(x)在x=-1两侧同号,仅在x=-1时等于

则f(x)在R上为单调减函数. ……10分
2°当-1<a<0时,


即f’(x)<0恒成立,则f(x)在R上为单调减函数. ……11分
3°a<-1时,

方程


作差可知

则当


当

F(x)在

当


综上所述,当





思路分析:第一问利用


第二问中,


(1)当a=0时,f(x)=-e,f(x)在R上为单调减函数. ……8分
(2)当a<0时,方程


令

构造函数讨论单调性。

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