Question

已知不等式x²+mx＞4x+m-4．
（1）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x≤1的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把不等式整理为关于m的一次不等式形式，根据题意可得相应一次函数在端点m=0，m=4处函数值的符号，从而可得x的不等式组，解出即可；
（2）x²+mx＞4x+m-4可化为x²+（m-4）x-m+4＞0，令f（x）=x²+（m-4）x-m+4，则问题等价于x≤1时f（x）_min＞0，按对称轴与区间（-∞，1]的位置关系进行讨论可得f（x）_min；

解答：解：（1）x²+mx＞4x+m-4，可整理为（x-1）m+x²-4x+4＞0，
∵对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，
∴有

(x-1)×0+x2-4x+4＞0 (x-1)×4+x2-4x+4＞0

，即

x2-4x+4＞0 x2＞0

，解得x≠0，且x≠2，
∴实数x的取值范围为：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）；
（2）x²+mx＞4x+m-4可化为x²+（m-4）x-m+4＞0，
令f（x）=x²+（m-4）x-m+4，
由对x≤1的所有实数x，不等式恒成立，得
当-

m-4

2

≥1，即m≤2时，有f（x）_min=f（1）=1+m-4-m+4＞0，解得m∈R，∴m≤2；
当-

m-4

2

＜1，即m＞2时，有f（x）_min=f（-

m-4

2

）=-

(m-4)2

4

-m+4＞0，解得0＜m＜4，∴2＜m＜4；
综上，m＜4，即所求实数m的取值范围是：m＜4．

点评：本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．