Question

15．已知函数f（x）=mlnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，f（x）的导函数为f′（x），对?x∈（0，1），有f′（x）•f′（1-x）≤1恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$]
• B． [0，$\frac{3}{4}$]
• C． [0，1）
• D． [0，1]

Answer 1

分析 由函数f（x）=mlnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，可得f′（x）=$\frac{m}{x}$-x．由于对?x∈（0，1），有f′（x）•f′（1-x）≤1恒成立，即$（\frac{m}{x}-x）[\frac{m}{1-x}-（1-x）]$≤1，化为[m-（x²-x+1）][m-（x²-x）]≤0，解出并利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由函数f（x）=mlnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
可得f′（x）=$\frac{m}{x}$-x，
∵对?x∈（0，1），有f′（x）•f′（1-x）≤1恒成立，
∴$（\frac{m}{x}-x）[\frac{m}{1-x}-（1-x）]$≤1，
化为[m-（x²-x+1）][m-（x²-x）]≤0，
当m≠0时，解得x²-x≤m≤x²-x+1，
∵x²-x=x（x-1）＜0，x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}$．
∴$0＜m≤\frac{3}{4}$．
当m=0时，有f′（x）•f′（1-x）=x（1-x）≤$（\frac{x+1-x}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$＜1恒成立．
综上可得：实数m的取值范围为$[0，\frac{3}{4}]$．
故选：B．

点评 本题考查了导数的运算法则、恒成立问题等价转化方法、一元二次不等式的解法，考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力，属于难题．