题目内容

如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1、F2为焦点,离心率e=
12
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆的方程及其右准线的方程;
(2)是否存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数m;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)的条件下,直线l经过椭圆C2的右焦点F2,与抛物线C1交于A1、A2,如果以线段A1A2为直径作圆,试判断点P与圆的位置关系,并说明理由.
分析:(1)m=1时,求出焦点坐标以及a,b 的值,写出椭圆方程.
(2)假设存在实数m,在△PF1F2中,|PF1|最长,|PF2|最短,令|F1F2|=2c=2m,则|PF1|=2m+1,|PF2|=2m-1,把P(m-1,4m(m-1))代入椭圆方程求出m值.
(3)依题意设直线l的方程为:x=ky+1,k∈R,联立{y2=4xx24+y23=1得点P的坐标为P(23,263).再由韦达定理可知点P可在圆内,圆上或圆外.
解答:解:(1)m=1时,抛物线C1:y2=4x,焦点为F2 (1,0). 由于椭圆离心率e=
1
2
,c=1,
故 a=2,b=
3
,故所求的椭圆方程为  
x2
4
+
y2
3
=1
.右准线方程为:x=4.
(2)∵C1:y2=4mx(m>0)的右焦点F2(m,0)
∴椭圆的半焦距c=m,又e=
1
2

∴椭圆的长半轴的长a=2m,短半轴的长b=
3
m

∴椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1

假设存在实数m,△PF1F2中的边长是连续自然数,则在△PF1F2中,|PF1|最长,|PF2|最短,
令|F1F2|=2c=2m,则|PF1|=2m+1,|PF2|=2m-1.
由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-(-m),∴xP=m-1.
把P(m-1,4m(m-1))代入椭圆
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
,解得m=3.
故存在实数m=3 满足条件.
(3)依题意设直线l的方程为:x=ky+1,k∈R
联立
y2=4x
x2
4
+
y2
3
=1
得点P的坐标为P(
2
3
2
6
3
)

将x=ky+1代入y2=4x得y2-4ky-4=0.
设A1(x1,y1)、A2(x2,y2),由韦达定理得y1+y2=4k,y1y2=-4.
PA1
=(x1-
2
3
y1-
2
6
3
)
PA2
=(x2-
2
3
y2-
2
6
3
)

PA1
 •
PA2
=x1x2-
2
3
(x1+x2) +
4
9
+y1y2-
2
6
3
(y1+y2)  +
24
9

=-
24k2+24
6
k+11
9

=-
24(k+
6
2
)
2
-25
9

∵k∈R,于是
PA1
PA2
的值可能小于零,等于零,大于零.
即点P可在圆内,圆上或圆外.
点评:本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质,考查直线与椭圆的位置关系,同时考查向量知识的运用,综合性较强,属于中档题.
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