题目内容

精英家教网如图，设抛物线c1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率e=
12
的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．
分析：由题设条件设椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1．
（1）当m=1时，故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，联立
y2=4x
x2
4
+
y2
3
=1
得点P的坐标为P(
2
3
，
2
6
3
)．再由韦达定理可知点P可在圆内，圆上或圆外．
（3）假设存在满足条件的实数m，由
y2=4mx
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
解得：P(
2
3
m，
2
6
3
m)．|PF2| =
2
3
m+m=
5
3
m，|PF1| =4m-|PF2| =
7
3
m，又|F1F2|=2m=
6
3
m．由此可知当m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．
解答：精英家教网解：∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，又e=
1
2
，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=
3
m．
椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1．
（1）当m=1时，故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1，（3分）
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
联立
y2=4x
x2
4
+
y2
3
=1
得点P的坐标为P(
2
3
，
2
6
3
)．
将x=ky+1代入y2=4x得y2-4ky-4=0．
设A1（x1，y1）、A2（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．
又
PA1
=(x1-
2
3
，y1-
2
6
3
)，
PA2
=(x2-
2
3
，y2-
2
6
3
)．
PA1
 •
PA2
=x1x2-
2
3
(x1+x2) +
4
9
+y1y2-
2
6
3
(y1+y2)  +
24
9

=-
24k2+24
6
k+11
9

=-
24(k+
6
2
)2-25
9
．
∵k∈R，于是
PA1
•
PA2
的值可能小于零，等于零，大于零．
即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）
（3）假设存在满足条件的实数m，
由
y2=4mx
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
解得：P(
2
3
m，
2
6
3
m)．
∴|PF2| =
2
3
m+m=
5
3
m，|PF1| =4m-|PF2| =
7
3
m，又|F1F2|=2m=
6
3
m．
即△PF1F2的边长分别是
5
3
m、
6
3
m、
7
3
m．
∴m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．（14分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
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（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；
（2）当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求抛物线方程；此时设⊙C1、⊙C2…⊙Cn是圆心在y2=4mx（m＞0）上的一系列圆，它们的圆心纵坐标分别为a1，a2…an，已知a1=6，a1＞a2＞…＞an＞0，又⊙Ck（k=1，2，…，n）都与y轴相切，且顺次逐个相邻外切，求数列{an}的通项公式．
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（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；
（2）延长PF2交抛物线于点Q，M是抛物线C1上一动点，且M在P与Q之间运动，当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．
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（2）当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．
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（3）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由．

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