Question

已知．
(1) 求函数在上的最小值；
(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明：对一切，都有成立．

Answer 1

（1）（2）（3）构造函数，利用导数证明

解析试题分析：(1)由题意知，
当，，单调递减，
当，，单调递增． 
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以．                                          ……4分
(2) ，则，
设，则，
，，单调递减，
，，单调递增，
所以．
因为对一切，恒成立，所以．                                                        ……9分
（3）问题等价于证明，
由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到．　
设，则，
易得，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立．                          ……14分
考点：本小题主要考查利用导数求最值，恒成立问题和构造函数证明不等式.
点评：恒成立问题一般转化为最值解决，而证明不等式时，一般会构造新函数，利用导数研究函数的单调性，最值等，进而证明不等式.