题目内容
如图，在矩形
中，点
为边
上的点，点
为边
的中点，
，现将
沿
边折至
位置，且平面
平面
.
(1) 求证：平面
平面
；
(2) 求二面角
的大小.
（1）详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：(1) 利用直角三角形，先证明折前有
,折后这个垂直关系没有改变，然后由平面
平面
的性质证明
平面
,最后由面面垂直的判定定理即可证明平面
平面
；（2）为方便计算，不妨设
，先以
为原点，以
方向为
轴，以
方向为
轴，以与平面
向上的法向量同方向为
轴，建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面
和平面
的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.
试题解析：(1) 证明:由题可知：折前
，这个垂直关系，折后没有改变
故折后有
（2）不妨设，以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以与平面向上的法向量同方向为轴，建立空间直角坐标系 7分
则
设平面和平面的法向量分别为
，
由
及
可得到
即
，不妨取
又由
及
可得到
即
不妨取
9分
11分
综上所述，二面角
大小为
12分.
考点：1.线线垂直的证明；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量在解决空间角中的运用问题.
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