题目内容
定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,使得|f(x)|≤M成立,则称f(x) 是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=4-x+p•2-x+1,g(x)=
.
(Ⅰ)当p=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若q∈(0,
],函数g(x)在[0,1]上的上界是H(q),求H(q)的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数p的取值范围.
1-q•2x |
1+q•2x |
(Ⅰ)当p=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若q∈(0,
| ||
2 |
(Ⅲ)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数p的取值范围.
分析:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=1+(
)x+(
)x,可判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,由单调性可得求得f(x)在(-∞,0)上的值域,由值域可判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数.
(Ⅱ)g(x)=
-1,易判断g(x)在[0,1]上的单调性,由单调性可求得g(x)的值域,进而求得|g(x)|的值域,由上界定义可求得H(q)的范围;
(Ⅲ)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,即-3≤f(x)≤3恒成立,设t=(
)x,t∈(0,1],则转化为3≤1+pt+t2≤3恒成立,分离参数p后转化为求函数最值即可解决;
1 |
2 |
1 |
4 |
(Ⅱ)g(x)=
2 |
1+q•2x |
(Ⅲ)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,即-3≤f(x)≤3恒成立,设t=(
1 |
2 |
解答:解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=1+(
)x+(
)x,
因为f(x)在(-∞,0)上递减,
所以f(x)>f(0)=3,即f(x)在(-∞,0)的值域为(3,+∞),
故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立.
所以函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(Ⅱ)g(x)=
-1,∵q>0,x∈[0,1],∴g(x)在[0,1]上递减,
∴g(1)≤g(x)≤g(0),即
≤g(x)≤
,
∵q∈(0,
],∴|
|≥|
|,
∴|g(x)|≤|
|,
H(q)≥|
|,即H(q)的取值范围为[
,+∞).
(Ⅲ)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,
设t=(
)x,t∈(0,1],由-3≤f(x)≤3,得-3≤1+pt+t2≤3,
∴-(t+
)≤p≤
-t在(0,1]上恒成立,
设h(t)=-t-
,m(t)=
-t,则h(t)在(0,1]上递增;m(t)在(0,1]上递减,
所以h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)=-5;m(t)在(0,1]上的最小值为m(1)=1,
所以实数p的取值范围为[-5,1].
1 |
2 |
1 |
4 |
因为f(x)在(-∞,0)上递减,
所以f(x)>f(0)=3,即f(x)在(-∞,0)的值域为(3,+∞),
故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立.
所以函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(Ⅱ)g(x)=
2 |
1+q•2x |
∴g(1)≤g(x)≤g(0),即
1-2q |
1+2q |
1-q |
1+q |
∵q∈(0,
| ||
2 |
1-q |
1+q |
1-2q |
1+2q |
∴|g(x)|≤|
1-q |
1+q |
H(q)≥|
1-q |
1+q |
1-q |
1+q |
(Ⅲ)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,
设t=(
1 |
2 |
∴-(t+
4 |
t |
2 |
t |
设h(t)=-t-
4 |
t |
2 |
t |
所以h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)=-5;m(t)在(0,1]上的最小值为m(1)=1,
所以实数p的取值范围为[-5,1].
点评:本题考查函数的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,正确理解新定义,合理地进行等价转化.
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