Question

（1）已知k、n∈N^*，且k≤n，求证：；
（2）设数列a₀，a₁，a₂，…满足a₀≠a₁，a_i-1+a_i+1=2a_i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．

Answer 1

证明：（1）左边=k{C}{^{k}_{n}}=k•n!/k!(n-k)!=n!/(k-1)!(n-k)!，右边=n•(n-1)!/(k-1)!(n-k)!=n!/(k-1)!(n-k)!，所以k{C}{^{k}_{n}}=n{C}{^{k-1}_{n-1}}；（2）由题意得数列a₀，a₁，a₂，…为等差数列，且公差为a₁-a₀≠0．则p(x)=a_{0}{C}{⁰_{n}}(1-x)^{n}+a_{1}{C}{¹_{n}}x(1-x)^{n-1}+a_{2}{C}{²_{n}}x²(1-x)^{n-2}+…+a_{n}{C}{^{n}_{n}}x^{n}=a_{0}{C}{⁰_{n}}(1-x)^{n}+[a_{0}+(a_{1}-a_{0})]{C}{¹_{n}}x(1-x)^{n-1}+…+[a_{0}+n(a_{1}-a_{0})]{C}{^{n}_{n}}x^{n}=a_{0}[{C}{⁰_{n}}(1-x)^{n}+{C}{¹_{n}}x(1-x)^{n-1}+…+{C}{^{n}_{n}}x^{n}]+(a_{1}-a_{0})[{C}{¹_{n}}x(1-x)^{n-1}+2{C}{²_{n}}x²(1-x)^{n-2}+…+n{C}{^{n}_{n}}x^{n}]=a_{0}[(1-x)+x]^{n}+(a_{1}-a_{0})nx[{C}{⁰_{n-1}}(1-x)^{n-1}+{C}{¹_{n-1}}x(1-x)^{n-2}+…+{C}{^{n-1}_{n-1}}x^{n-1}]=a_{0}+(a_{1}-a_{0})nx[x+(1-x)]^{n-1}=a₀+（a₁-a₀）nx，所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式．